Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare · Geometrie

Cerc cu două coarde perpendiculare

În cercul de centru $O$ și rază $6\text{ cm}$, punctele $A,B,C,D$ aparțin cercului astfel încât $AB \perp CD$. $M$ este mijlocul coardei $AB$ și $OM = 3\text{ cm}$.

Date
  • Raza cercului: $R = OA = OB = OC = OD = 6\text{ cm}$
  • $AB \perp CD$
  • $M$ = mijlocul coardei $AB$, deci $OM \perp AB$
  • $OM = 3\text{ cm}$
a) 2p

Arată că $AM = 3\sqrt{3}\text{ cm}$

Cum $M$ este mijlocul coardei $AB$, raza $OM$ este perpendiculară pe $AB$. Triunghiul $OMA$ este dreptunghic în $M$.
Teorema lui Pitagora în $\triangle OMA$: $\;OA^2 = OM^2 + AM^2$.
$AM^2 = OA^2 - OM^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27$.
$AM = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\text{ cm}.$
$AM = 3\sqrt{3}\text{ cm}\quad\Rightarrow\quad AB = 6\sqrt{3}\text{ cm}$
b) 3p

Demonstrează că $AC^2 + BD^2 = 144\text{ cm}^2$

Așezăm un reper cu originea în centrul $O$. Deoarece $OM \perp AB$, dreapta $AB$ este orizontală la distanța $3$ de centru; iar $CD \perp AB$ este verticală.

$AB$ pe dreapta $y = 3$. Din $x^2 + 3^2 = 36 \Rightarrow x = \pm 3\sqrt3$, deci $A=(-3\sqrt3,\,3)$, $B=(3\sqrt3,\,3)$.
$CD$ pe verticala $x = a$. Cu $c=\sqrt{36-a^2}$ avem $C=(a,\,c)$, $D=(a,\,-c)$, și relația cheie $a^2 + c^2 = 36$.
$AC^2 = (a+3\sqrt3)^2 + (c-3)^2$  și  $BD^2 = (a-3\sqrt3)^2 + (c+3)^2.$
Adunând, termenii încrucișați $\pm 6\sqrt3\,a$ și $\mp 6c$ se anulează: $$AC^2+BD^2 = \underbrace{2a^2+54}_{} + \underbrace{2c^2+18}_{} = 2(a^2+c^2)+72.$$
$= 2\cdot 36 + 72 = 72 + 72 = 144.$
$AC^2 + BD^2 = 144\text{ cm}^2 \;=\; (2R)^2$

Rezultatul nu depinde de poziția dreptei $CD$. Esențial este doar că $C$ aparține cercului ($a^2+c^2=R^2$), iar simetria $A\leftrightarrow B$, $C\leftrightarrow D$ anulează termenii încrucișați. Mișcă glisorul din dreapta pentru a verifica invarianța.

Figură interactivă

Verifică invarianța

AC²—
BD²—
AC² + BD²—
b′) Demonstrație sintetică

Proof cu punctul diametral opus (fără coordonate)

Aceeași concluzie, dar pur geometric — valabilă pentru orice poziție a coardei $CD$. Notăm cu $C'$ punctul diametral opus lui $C$ (deci $CC'$ este diametru, $CC'=2R=12$).

$\angle CAC' = 90^\circ$ — unghi înscris în semicerc. Deci $\triangle CAC'$ este dreptunghic în $A$.
$C'D \perp CD$ (tot unghi în semicerc), iar $AB \perp CD$. Două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele: $C'D \parallel AB$.
Coarde paralele subîntind arce egale: $\overset{\frown}{AC'} = \overset{\frown}{BD}$, deci coardele sunt egale: $\;AC' = BD$.
Pitagora în $\triangle CAC'$ (dreptunghic în $A$): $\;AC^2 + AC'^2 = CC'^2.$
Înlocuind $AC' = BD$ și $CC' = 2R = 12$: $$AC^2 + BD^2 = (2R)^2 = 12^2 = 144\text{ cm}^2.$$
$AC^2 + BD^2 = (2R)^2 = 144\text{ cm}^2$ — pentru orice coardă $CD \perp AB$

Demonstrația nu folosește nicăieri poziția lui $CD$: pasul-cheie este că $AC'=BD$ (coarde paralele) și că $CC'$ este diametru. Glisorul confirmă vizual că $AC' = BD$ și $AC^2+AC'^2 = 144$ indiferent de poziție.

Construcția $C'$

$AC' = BD$ și $\triangle CAC'$ dreptunghic

AC′ (galben)—
BD (egal)—
AC² + AC′² = CC′²—